博客 (28)

本文系 AI 生成，仅供参考，不保证准确性，实战中务必将结果与专业软件中的数据进行对比。

在量化交易和股票数据分析中，“复权”是一个绕不开的核心概念。很多新手在搭建自己的数据库或编写策略时，常常因为复权处理不当，导致回测结果失真、技术指标错位，甚至引发系统性的计算灾难。

本文将从底层逻辑出发，用大白话为你讲透复权的本质，并提供一套成熟、高效的数据库与指标设计方案，帮你完美避开各种“坑”。

一、股票中的“复权”是什么意思？

简单来说，复权是为了消除股票因分红、送股、配股等除权除息事件造成的K线价格“断崖式”缺口。

当一家公司实施“10 送 10”时，股票数量翻倍，股价理论上会直接“腰斩”。如果看原始数据，K 线图上会出现一个巨大的向下跳空缺口。复权就是通过按比例调整历史价格，把这种非交易因素造成的断层“修复”，使股票的历史走势在图表上保持连续，从而真实反映投资者的累计收益和趋势变化。

二、如何计算复权因子？

复权因子本质上就是除权前后的价格比例，但不同数据源的定义方向恰好相反：

•          BaoStock 算法：复权因子 = 除权后价格 ÷ 除权前价格（结果小于 1，如 10 ÷ 20 = 0.5）。

•          掘金量化算法：复权因子 = 除权前价格 ÷ 除权后价格（结果大于 1，如 20 ÷ 10 = 2）。

无论哪种定义，其核心作用都是作为一个乘数，用于在不同历史价格之间进行等比换算。

三、将股票历史价格保存到数据库中时，建议使用真实价格还是复权价格？

强烈建议：只保存不复权的真实价格和复权因子。

前复权价格是一个动态变化的值（以当前最新价格为基准）。如果直接存储前复权价格，每次股票发生新的除权除息，你都需要把过去所有的历史价格全部重算并覆盖更新，维护成本极高且极易出错。而真实价格和复权因子是客观静态的，只需每天增量追加，历史数据永远无需修改。

四、以MA5为例，如何计算和保存指标价格？

遵循 “底层存真实指标，前端按需乘因子” 的原则：

•          计算与存储：永远使用“真实价格”来计算 MA5，并将结果存入数据库。这样历史指标是客观事实，无需因复权而重算。

•          展示与应用：在看盘或跑策略时，将数据库中的真实 MA5 乘以“当前的复权因子”，即可动态映射出完美的复权 MA5。

举个例子：某 6 天的真实价格是 20，21，22，23，24，12，其中最后一天进行了除权，且假设这天没涨没跌，掘金因子是24/12=2，这样的话，倒数据第 2 天的 MA5 是 (20+21+22+23+24)/5=22，最后一天的 MA5 是 (21/2+22/2+23/2+24/2+12)/5=11.4，所以数据库中这两天的 MA5 值分别是 22 和 11.4 。复权因子同样适用于 MA5 值，即从最后一天看，其前一天的前复权 MA5 值是 22/2=11。

五、如何解决复权因子与四舍五入叠加产生的偏差问题？

核心原则是 “真实价格负责算钱，复权价格负责算趋势” （实盘中）：

•          交易与风控层：涉及真实盈亏、涨跌停价计算、下单挂单等，必须使用精确到两位小数的“真实价格”。

•          研究与回测层：涉及画K线图、计算 MA 等趋势指标时，才使用复权价格。此时允许存在极微小的尾数误差（如 1 分钱），因为技术指标看的是宏观趋势，微小偏差对信号毫无影响。

举个例子：真实价格 12.34（2位小数），复权因子 0.965678，前复权价格 12.34 × 0.965678 = 11.91646652（8 位小数）

如果你用这个 11.91646652 去算涨停价：11.91646652 × 1.1 = 13.108113172，四舍五入变成 13.11。

但是，真实的涨停价是 13.57，它的前复权价应该是：13.57 × 0.965678 = 13.10429046，四舍五入变成 13.10。

六、前复权与后复权在实际应用中该如何选择？

•          前复权：以当前最新价格为基准，向下平移历史价格。优点是最新价格与真实交易价格一致，适合看近期K线走势、分析短期技术形态。

•          后复权：以历史最早价格为基准，向上放大最新价格。优点是能真实反映上市以来的累计涨幅，适合计算长期累计收益率、评估长线投资价值。

附：复权因子计算实战案例（小白秒懂版）

【场景设定】

假设某只股票在 T-1 日的收盘价是 20元。

T 日公司宣布“10 送 10”，股价直接“腰斩”变成 10元。假设 T 日当天市场不涨不跌，实际收盘价依然是 10元。

1. 复权因子怎么算？

•          BaoStock算法：10 ÷ 20 = 0.5

•          掘金量化算法：20 ÷ 10 = 2

2. 前复权怎么算？

前复权的核心是：T 日的 10元 保持不变，把 T-1 日的价格乘以 BaoStock 的因子（0.5）。

•          T-1 日前复权价 = 20 × 0.5 = 10元

•          T 日前复权价 = 10元（因为T日是基准日，保持不变）最终结果：T-1 日是 10元，T 日是 10元。K 线图完美连续，没有缺口。

3. 后复权怎么算？

后复权的核心是：T-1 日的 20元 保持不变，把 T 日的价格乘以掘金的因子（2）。

•          T-1 日后复权价 = 20元

•          T 日后复权价 = 10 × 2 = 20元最终结果：T-1 日是 20元，T 日是 20元。K 线图同样连续，反映了你“虽然股价没涨，但手里股票翻倍了，总资产没变”的真实情况。

4. 技术指标（以 MA2 为例）怎么算？

•          数据库里存什么？ 存真实价格算出来的指标。

◦       T-1 日前复权价格 = 20 × 0.5 = 10

◦       T 日前复权价格 = 10（前复权以当日为基准，保持真实价格不变）

◦       T 日真实 MA2 = (10 + 10) ÷ 2 = 10

【一句话总结】

复权只是数学游戏。真实价格负责算钱，复权价格负责看趋势；数据库里只存真实指标，看盘时再乘因子映射。

(AI 生成)

个人整理，仅供参考。具体规格请以官方发布为准。

名称	X1	X1 Pro	X3 Pro 日照金山（1母1子套装）
上市时间	2025/4	2025/4	2025/11
RAM	512 MB	512 MB
ROM	128 MB	128 MB
频段	2.4 GHz 速率为 688 Mbps 5 GHz 速率为 2882 Mbps	2.4 GHz 速率为 688 Mbps 5 GHz 速率为 2882 Mbps	2.4 GHz 5 GHz
天线	5 根全向高增益天线 5 根定向智能天线 1 根星闪天线	5 根全向高增益天线 5 根定向智能天线 1根 星闪天线
星闪网关	支持	支持
蓝牙网关	支持	支持
接口	2.5GE * 2 1GE * 2	2.5GE * 4
Wi-Fi	Wi-Fi 7+	Wi-Fi 7+	Wi-Fi 7+
适用面积	90-120㎡	90-120㎡	主路由覆盖90㎡内，每增加一个子路由可扩展约30㎡
价格

• 表格于 2025 年 11 月整理更新。

• 小米高端路由器功能对比

个人整理，仅供参考。具体规格请以官方发布为准。

名称	BE10000	BE7000	BE6500 Pro	BE6500	BE3600 Pro 套装	BE3600 Pro 网线版	BE10000 Pro	BE7200 Pro
型号					主：RN04 子：RN01	主：RP01 子：RP03
上市时间	2022.10	2023.5	2023.10	2024.8	2024.10	2025.5	2025.9	2026.5
处理器	Qualcomm 四核 A73 2.2GHz	Qualcomm 四核 A73 1.5GHz	Qualcomm 四核 A53 1.5GHz	Qualcomm 四核 A53 1.1GHz	主/子： 高通 IPQ5312 四核 1.1GHz	主/子： Qualcomm Dragonwing N7	Qualcomm A7 四核 1.8GHz	Qualcomm 四核 A55 1.8GHz
内存	2GB	1GB	1GB	512MB	主/子：512MB 一说子是 128MB	主：512MB 子：256MB	2GB	1G DRAM + 512MB Flash
频段	2.4GHz、5.2GHz、5.8GHz	2.4GHz、5GHz	2.4GHz、5GHz	2.4GHz、5GHz	2.4GHz、5GHz	2.4GHz、5GHz	2.4GHz、5.2GHz、5.8GHz	2.4GHz、5GHz
组网	混合 Mesh	混合 Mesh	混合 Mesh	混合 Mesh	混合 Mesh	AC + AP	AI Mesh	AI Mesh
天线	12根高增益天线 + 12路信号放大器 + NFC内置天线	7根外置高增益WiFi天线 + 1根内置高增益WiFi天线 + NFC内置天线	6根高增益WiFi内置天线 + 1根蓝牙内置天线 + 1根NFC内置天线	6根外置高增益Wi-Fi天线	主/子：4根内置天线	主：无 子：2根内置双频天线	12根高增益天线 + 12路信号放大器	8根高增益天线 + 8路信号放大器
中枢网关	不支持	不支持	支持	不支持	主：支持 子：不支持	主：支持 子：不支持	支持	支持
蓝牙网关	不支持	不支持	蓝牙 Mesh 1.0 100 台 + 蓝牙 100 台 升级固件后支持蓝牙 Mesh 2.0	蓝牙 Mesh 1.0	蓝牙 Mesh 1.0 200 台 + 蓝牙 100 台	主：不支持 子：蓝牙 Mesh 2.0	蓝牙 Mesh 2.0 200 台 + 蓝牙 100 台	蓝牙 Mesh 2.0 200 台 + 蓝牙 100 台
散热	主动散热	自然散热	自然散热	自然散热	自然散热	主：自然散热 子：主动散热	主动散热	自然散热
接口	4×2.5G 1×10G 1×10G SFP＋ 1×USB 3.0	4×2.5G 1×USB 3.0	4×2.5G	4×2.5G	主/子： 1×2.5G 3×1G	主：5×2.5G 子：2×2.5G	4×2.5G 2×10G 1×M.2 1×USB 3.0	4×2.5G
Wi-Fi	Wi-Fi 7	Wi-Fi 7	Wi-Fi 7	Wi-Fi 7	Wi-Fi 7	主：无 子：Wi-Fi 7	Wi-Fi 7	Wi-Fi 7
MLO 多链路聚合	双频 4.3Gbps 5 GHz 和 5 GHz-Game	双频 4.3Gbps 5 GHz 和 5 GHz-Game	双频 3.6Gbps 2.4 GHz 和 5 GHz	双频 3.57Gbps 2.4 GHz 和 5 GHz	双频 3.57Gbps 2.4 GHz 和 5 GHz	双频 2.4 GHz 和 5 GHz	双频 4.3Gbps 5 GHz 和 5 GHz-Game	双频 3.6Gbps 2.4 GHz 和 5 GHz
价格	最新价格	最新价格	最新价格	最新价格	最新价格	最新价格	最新价格	最新价格

• 表格于 2025 年 10 月整理更新。

• 如果只考虑支持蓝牙 Mesh 2.0，那么有 BE3600 Pro 网线版 和 BE10000 Pro 可选，搭配其它 Mesh 路由器实现全屋 Wi-Fi 7 覆盖，搭配其它中枢网关或从网关设备实现全屋蓝牙 Mesh 2.0 覆盖。

• 如果考虑用 Xiaomi 中枢网关 来部署独立的中枢架构，那么选择路由器就没有限制了。
  

• 名称中带有“全屋”字样的通常以子母套装形式出售，子母路由配置通常不同。购买两台一模一样的普通 BE 路由器，就相当于组建了一套“不分子母”的 Mesh 套装。

• 名称中带有“Pro”字样的通常具备中枢网关功能。
  

驾驶自动化等级与划分要素的关系

摘自：《汽车驾驶自动化分级》（GB/T 40429-2021）

部分车企驾驶安全与辅助、智能领航和泊车辅助系统简介

问界

        新M5 全系搭载华为高阶智能驾驶系统，包含智驾领航辅助（NCA）、车道巡航辅助（LCC）、车道巡航辅助增强（LCC Plus）、全向防碰撞系统（CAS）、智能泊车辅助（APA）、遥控泊车辅助（RPA）、代客泊车辅助（AVP）、哨兵模式等功能。部分高阶智驾功能需付费开通，如城区智驾领航辅助（City NCA）、城区车道巡航辅助增强（City LCC Plus）、代客泊车辅助（AVP）等。

参考：问界 M5 华为高阶智能驾驶系统

阿维塔

驾驶安全与辅助：

        前向碰撞预警（FCW）、自动紧急制动（AEB）、异形障碍物自动紧急制动（GAEB）、低速自动紧急制动（LAEB）、前向横穿碰撞预警（FCTA）、前向横穿碰撞制动（FCTB）、后向碰撞预警（RCW）、后向横穿碰撞预警（RCTA）、后向横穿碰撞制动（RCTB）、后向自动紧急制动（RAEB）、交通标志识别（TSR）、交通信号灯识别（TLR）、超速告警（TSA）、开门预警（DOW）、车道偏离预警（LDW）、盲区监测预警（BSD）、车道保持辅助（LKA）、紧急车道保持辅助（ELKA）、侧向障碍物防碰撞（LOCP）、自适应巡航辅助（ACC）、高速车道巡航辅助 (Highway LCC）

智能领航系统：

        高速智驾领航辅助 (Highway NCA）、城区车道巡航辅助 (City LCC）、城区智驾领航辅助 (City NCA）

智能泊车辅助系统：

        智能泊车辅助（APA）、遥控泊车辅助（RPA）、代客泊车辅助（AVP）

其中，ADS高阶功能包需付费购买，包含城区智驾领航辅助 (City NCA）与代客泊车辅助（AVP）。

参考：阿维塔 12 参数配置表

蔚来

智能驾驶-安全辅助：

        前向碰撞预警 (FCW)、自动紧急制动 (AEB)、车辆盲区监测 (BSD)、变道盲区预警 (LCA)、侧方开门预警 (DOW)、后方穿行预警带制动 (RCTA-B)、前方穿行预警带制动 (FCTA-B)、车道偏离预警 (LDW)、车道保持辅助 (LKA)、紧急主动停车(EAS)、紧急车道保持 (ELK)、全场景误加速抑制辅助 (MAI+)、增强型驾驶员感知系统 (ADMS)、通用障碍物预警及辅助 (GOA)、增强型自动紧急转向 (AES)

智能驾驶-泊车辅助：

        视觉融合泊车辅助 (S-APA with Fusion)、换电站泊车辅助 (PSAP)、车辆近距召唤 (NBS)、遥控泊车辅助 (RPA)

智能驾驶-辅助驾驶：

        车道居中辅助 (LCC)、转向灯控制变道 (ALC)、智能自适应巡航 (i-ACC)、道路标识识别 (TSR)、动态环境模拟显示 (ESD)、视觉融合起步提醒 (AGN)

蔚来智能驾驶NAD服务：

        智能驾驶NAD服务（覆盖部分城区道路、封闭高速道路的智能驾驶体验）、低速及泊车智能驾驶NAD服务（支持领航泊车、智能召唤等功能体验）、全域领航辅助 (NOP+)（支持高速、城市快速路、城区道路、高速服务区领航换电等体验）

参考：NIO ES6 详细配置表

小米

Xiaomi Pilot Pro：高速领航辅助（NOA）、智能泊车辅助（APA）、车道居中辅助（LCC）、代客泊车辅助（AVP）

Xiaomi Pilot Max：城市领航辅助（NOA）

参考：小米智能驾驶 Xiaomi Pilot

特斯拉

基本版 Autopilot 自动辅助驾驶：

        主动巡航控制、自动辅助转向

增强版 Autopilot 自动辅助驾驶：

        自动变道、自动辅助导航驾驶、自动泊车、召唤功能、智能召唤功能

完全自动驾驶功能 FSDFull-Self Driving（简称“FSD”）：

        交通信号灯和停车标志控制、在城市街道自动辅助转向等。2024年3月31日，特斯拉向美国部分用户推送FSD V12（Supervised）版本。

参考：Model 3 车主手册 Autopilot 自动辅助驾驶

今天在控制台应用程序中删除和覆盖文件时，遇到指定路径的文件被禁止操作：

Access to the path is denied.

在网上找到的答案都是给所在目录添加 Everyone 的权限，尝试无果。

后来发现原因是被操作的文件被勾选了“只读”权限，取消就正常了。

错误 TS5055 无法写入文件“***.js”，因为它会覆盖输入文件。

添加 tsconfig.json 文件有助于组织包含 TypeScript 和 JavaScript 文件的项目。有关详细信息，请访问 https://aka.ms/tsconfig。

检查“输出”窗口，找到“error”的行，并修复该错误。

一种可能的情况是，使用了 vue3 的 computed 计算属性。原因未知，尝试又定义了一个变量并使用 watch 侦听原变量来给它赋值，同样报错。

本文使用 ASP.NET 6 版本 Senparc.Weixin.Sample.MP 示例项目改造。

第一步 注册多公众号

方法一：打开 appsettings.json 文件，在 SenparcWeixinSetting 节点内添加数组节点 Items，该对象类型同 SenparcWeixinSetting。

//Senparc.Weixin SDK 设置
"SenparcWeixinSetting": {
  "IsDebug": true,
  "Token": "",
  "EncodingAESKey": "",
  "WeixinAppId": "",
  "WeixinAppSecret": "",
  "Items": [
    {
      "IsDebug": true,
      "Token": "a",
      "EncodingAESKey": "a",
      "WeixinAppId": "a",
      "WeixinAppSecret": "a"
    },
    {
      "IsDebug": true,
      "Token": "b",
      "EncodingAESKey": "b",
      "WeixinAppId": "b",
      "WeixinAppSecret": "b"
    }
  ]
}

方法二：修改 Program.cs 文件，在 UseSenparcWeixin 方法中注册多个公众号信息。

var registerService = app.UseSenparcWeixin(app.Environment,
    null /* 不为 null 则覆盖 appsettings  中的 SenparcSetting 配置*/,
    null /* 不为 null 则覆盖 appsettings  中的 SenparcWeixinSetting 配置*/,
    register => { /* CO2NET 全局配置 */ },
    (register, weixinSetting) =>
    {
        //注册公众号信息（可以执行多次，注册多个公众号）
        //register.RegisterMpAccount(weixinSetting, "【盛派网络小助手】公众号");
        foreach (var mp in 从数据库或配置文件中获取的公众号列表)
        {
            register.RegisterMpAccount(new SenparcWeixinSetting
            {
                //IsDebug = true,
                WeixinAppId = mp.AppId,
                WeixinAppSecret = mp.AppSecret,
                Token = mp.Token,
                EncodingAESKey = mp.EncodingAeskey,
            }, mp.Name);
        }
    });

完成后，我们可以从 Config.SenparcWeixinSetting.Items 获取这些信息。

第二步 接入验证与消息处理

打开 WeixinController 控制器，将构造函数改写为：

public WeixinController(IHttpContextAccessor httpContextAccessor)
{
    AppId = httpContextAccessor.HttpContext!.Request.Query["appId"];
    var MpSetting = Services.MPService.MpSettingByAppId(AppId);
    Token = MpSetting.Token;
    EncodingAESKey = MpSetting.EncodingAESKey;
}

示例中 Services.MPService.MpSettingByAppId() 方法实现从 Config.SenparcWeixinSetting.Items 返回指定 appId 的公众号信息。

为使 IHttpContextAccessor 注入生效，打开 Program.cs，在行

builder.Services.AddControllersWithViews();

下方插入

builder.Services.AddHttpContextAccessor();

这样，我们就可以在构造函数中直接获取地址栏中的 appId 参数，找到对应的公众号进行消息处理。

第三步 消息自动回复中的 AppId

打开 CustomMessageHandler.cs，将 

private string appId = Config.SenparcWeixinSetting.MpSetting.WeixinAppId;
private string appSecret = Config.SenparcWeixinSetting.MpSetting.WeixinAppSecret;

替换为：

private string appId = null!;
private string appSecret = null!;

并在构造函数中插入

appId = postModel.AppId;
appSecret = Services.MPService.MpSettingByAppId(postModel.AppId).WeixinAppSecret;

这样，本页中使用的 appId / appSecret 会从 postModel 中获取，而非默认公众号。postModel 已在 WeixinController 中赋值当前的 appId。

改造后，我们可以在 OnTextRequestAsync() 等处理消息的方法中可以判断 appId 来处理不同的消息。

第四步 其它功能和接口

其它功能和接口均可用指定的 AppId 和对应的 AppSecret 进行调用。

自 2023 年 4 月起，Windows 11 已经重新支持显示“秒”，无需第三方工具来实现，点击查看详情。

ElevenClock 下载地址：GitHub，开源软件放心使用

效果：

* 该软件不会影响右下角的显示桌面和系统通知功能。

v3.3 设置方法：

√ 在主屏幕上时钟区显示本程序的时钟样式

    ElevenClock 不直接修改任务栏上的时钟区域，而是将时钟覆盖在系统时钟区域的上方。

√ 不要在辅助监视器上显示时钟

    此项按实际需求勾选

√ 时间与日期设置 - Set a custom date and time format (for advanced users only)

    填写以下内容并 Apply

    %H:%M:%S

    %Y/%#m/%#d %a

    如果不想显示星期，把 %a 去掉即可。

√ 使用自定义字体大小

    因分辨率缩放设置不同可能导致显示的字体大小与系统时钟不同，会导致覆盖面过大或过小，从而使系统托盘中的其它图标显示不完整。所以应选择一个与系统时间差不多的字体大小。当显示“周序号”时 ElevenClock 时钟区域可能会远宽于系统时钟区域，可以设置系统时钟显示“星期”（方法见文末）。

v3.2 设置方法：

√ 在主屏幕上时钟区显示本程序的时钟样式

    ElevenClock 不直接修改任务栏上的时钟区域，而是将时钟覆盖在系统时钟区域的上方。

√ 不要在辅助监视器上显示时钟

    此项按实际需求勾选

√ 显示秒数

    这是我们的最终目的。

√ 使用自定义字体大小

    因分辨率缩放设置不同可能导致显示的字体大小与系统时钟不同，会导致覆盖面过大或过小，从而使系统托盘中的其它图标显示不完整。所以应选择一个与系统时间差不多的字体大小。当显示“周序号”时 ElevenClock 时钟区域可能会远宽于系统时钟区域，可以设置系统时钟显示“星期”（方法见文末）。

如何显示系统时间“星期”：

打开“更改日期和时间”，在“日期”选项卡的“短日期”中添加“ddd”。

SshNet 向一个已存在的文件 WriteAllText 的时候，是在原内容的基础上从第一个字节依次覆盖新内容。

因此，如果新内容的长度小于原内容，则最终的文件内容将是新内容与结尾部分原内容的结合。

若新内容的长度大于等于原内容，则不存在问题。

例：原文件内容："abc"，WriteAllText 的内容为：“de”，那么最终的文件内容是：“dec”。

前言：本文源于前几天看到的一条微博：

对于这种言论我并不赞同。我大学学的是化学，没有学习过计算机专业的课程，但我认为至少这个问题并不需要多么高端的计算机专业知识，只要中学数学没有全还给老师，就应该能给出至少一种解法。比如说，我就随便涂了一个多边形和一个点，现在我要找出一种通用的方法来判断这个点是不是在多边形内部（别告诉我用肉眼观察……）。

首先想到的一个解法是从这个点做一条射线，计算它跟多边形边界的交点个数，如果交点个数为奇数，那么点在多边形内部，否则点在多边形外。

这个结论很简单，那它是怎么来的？其实，对于平面内任意闭合曲线，我们都可以直观地认为，曲线把平面分割成了内、外两部分，其中“内”就是我们所谓的多边形区域。

基于这一认识，对于平面内任意一条直线，我们可以得出下面这些结论：

1. 直线穿越多边形边界时，有且只有两种情况：进入多边形或穿出多边形。

2. 在不考虑非欧空间的情况下，直线不可能从内部再次进入多边形，或从外部再次穿出多边形，即连续两次穿越边界的情况必然成对。

3. 直线可以无限延伸，而闭合曲线包围的区域是有限的，因此最后一次穿越多边形边界，一定是穿出多边形，到达外部。

现在回到我们最初的题目。假如我们从一个给定的点做射线，还可以得出下面两条结论：

1. 如果点在多边形内部，射线第一次穿越边界一定是穿出多边形。

2. 如果点在多边形外部，射线第一次穿越边界一定是进入多边形。

把上面这些结论综合起来，我们可以归纳出：

1. 当射线穿越多边形边界的次数为偶数时，所有第偶数次（包括最后一次）穿越都是穿出，因此所有第奇数次（包括第一次）穿越为穿入，由此可推断点在多边形外部。

   

2. 当射线穿越多边形边界的次数为奇数时，所有第奇数次（包括第一次和最后一次）穿越都是穿出，由此可推断点在多边形内部。

   

到这里，我们已经了解这个解法的思路了，下面接着看算法实现的一些具体问题和边界条件的处理。

1. 点在多边形的边上

   上面我们讲到，这个解法的主要思路就是计算射线穿越多边形边界的次数，那么对于点在多边形的边上这种特殊情况，射线出发的这一次，是否应该算作穿越呢？

   

   看了上面的图就会发现，不管算不算穿越，都会陷入两难的境地——同样落在多边形边上的点，可能会得到相反的结果。这显然是不正确的，因此对这种特殊情况需要特殊处理。

2. 点和多边形的顶点重合

   这其实是第一种情况的一个特例。

   

3. 射线经过多边形顶点

   射线刚好经过多边形顶点的时候，应该算一次还是两次穿越？这种情况比前两种复杂，也是实现中的难点。

   

4. 射线刚好经过多边形的一条边

   这是上一种情况的特例，也就是说，射线连续经过了多边形的两个相邻顶点。

   

解决方案：

1. 判断点是否在线上的方法有很多，比较简单直接的就是计算点与两个多边形顶点的连线斜率是否相等，中学数学都学过。

2. 点和多边形顶点重合的情况更简单，直接比较点的坐标就行了。

3. 顶点穿越看似棘手，其实我们换一个角度，思路会大不相同。先来回答一个问题，射线穿越一条线段需要什么前提条件？没错，就是线段两个端点分别在射线两侧。只要想通这一点，顶点穿越就迎刃而解了。这样一来，我们只需要规定被射线穿越的点都算作其中一侧。

   

   如上图，假如我们规定射线经过的点都属于射线以上的一侧，显然点 D 和发生顶点穿越的点 C 都位于射线 Y 的同一侧，所以射线 Y 其实并没有穿越 CD 这条边。而点 C 和点 B 则分别位于射线 Y 的两侧，所以射线 Y 和 BC 发生了穿越，由此我们可以断定点 Y 在多边形内。同理，射线 X 分别与 AD 和 CD 都发生了穿越，因此点 X 在多边形外，而射线 Z 没有和多边形发生穿越，点 Z 位于多边形外。

4. 解决了第三点，这一点就毫无难度了。根据上面的假设，射线连续经过的两个顶点显然都位于射线以上的一侧，因此这种情况看作没有发生穿越就可以了。由于第三点的解决方案实际上已经覆盖到这种特例，因此不需要再做特别的处理。

这种简单直观的算法通常叫做射线法或奇偶法，下面给出 JavaScript 的算法实现。

/**
 * @description 射线法判断点是否在多边形内部
 * @param {Object} p 待判断的点，格式：{ x: X 坐标, y: Y 坐标 }
 * @param {Array} poly 多边形顶点，数组成员的格式同 p
 * @return {String} 点 p 和多边形 poly 的几何关系
 */function rayCasting(p, poly) {
  var px = p.x,
      py = p.y,
      flag = false

  for(var i = 0, l = poly.length, j = l - 1; i < l; j = i, i++) {
    var sx = poly[i].x,
        sy = poly[i].y,
        tx = poly[j].x,
        ty = poly[j].y

    // 点与多边形顶点重合
    if((sx === px && sy === py) || (tx === px && ty === py)) {
      return 'on'
    }

    // 判断线段两端点是否在射线两侧
    if((sy < py && ty >= py) || (sy >= py && ty < py)) {
      // 线段上与射线 Y 坐标相同的点的 X 坐标
      var x = sx + (py - sy) * (tx - sx) / (ty - sy)

      // 点在多边形的边上
      if(x === px) {
        return 'on'
      }

      // 射线穿过多边形的边界
      if(x > px) {
        flag = !flag
      }
    }
  }

  // 射线穿过多边形边界的次数为奇数时点在多边形内
  return flag ? 'in' : 'out'}

除了射线法还有很多其他的方法，下面再介绍一种回转数法。

平面中的闭合曲线关于一个点的回转数（又叫卷绕数），代表了曲线绕过该点的总次数。下面这张图动态演示了回转数的概念：图中红色曲线关于点（人所在位置）的回转数为 2。

回转数是拓扑学中的一个基本概念，具有很重要的性质和用途。本文并不打算在这一点上展开论述，这需要具备相当的数学知识，否则会非常乏味和难以理解。我们暂时只需要记住回转数的一个特性就行了：当回转数为 0 时，点在闭合曲线外部（回转数大于 0 时所代表的含义，大家可以自己想一想，还是很有趣的）。

对于给定的点和多边形，回转数应该怎么计算呢？

1. 用线段分别连接点和多边形的全部顶点。

   

2. 计算所有点与相邻顶点连线的夹角。

   

3. 计算所有夹角和。注意每个夹角都是有方向的，所以有可能是负值。

   

4. 最后根据角度累加值计算回转数。看过前面的介绍，很容易理解 360°（2π）相当于一次回转。

思路介绍完了，下面两点是实现中需要留意的问题。

1. JavaScript 的数只有 64 位双精度浮点这一种。对于三角函数产生的无理数，浮点数计算不可避免会造成一些误差，因此在最后计算回转数时需要做取整操作。

2. 通常情况下，平面直角坐标系内一个角的取值范围是 -π 到 π 这个区间，这也是 JavaScript 三角函数 Math.atan2() 返回值的范围。但 JavaScript 并不能直接计算任意两条线的夹角，我们只能先计算两条线与 X 正轴夹角，再取两者差值。这个差值的结果就有可能超出 -π 到 π 这个区间，因此我们还需要处理差值超出取值区间的情况。

这里也给出回转数法的 JavaScript 实现。

/**
 * @description 回转数法判断点是否在多边形内部
 * @param {Object} p 待判断的点，格式：{ x: X 坐标, y: Y 坐标 }
 * @param {Array} poly 多边形顶点，数组成员的格式同 p
 * @return {String} 点 p 和多边形 poly 的几何关系
 */function windingNumber(p, poly) {
  var px = p.x,
      py = p.y,
      sum = 0

  for(var i = 0, l = poly.length, j = l - 1; i < l; j = i, i++) {
    var sx = poly[i].x,
        sy = poly[i].y,
        tx = poly[j].x,
        ty = poly[j].y

    // 点与多边形顶点重合或在多边形的边上
    if((sx - px) * (px - tx) >= 0 && (sy - py) * (py - ty) >= 0 && (px - sx) * (ty - sy) === (py - sy) * (tx - sx)) {
      return 'on'
    }

    // 点与相邻顶点连线的夹角
    var angle = Math.atan2(sy - py, sx - px) - Math.atan2(ty - py, tx - px)

    // 确保夹角不超出取值范围（-π 到 π）
    if(angle >= Math.PI) {
      angle = angle - Math.PI * 2
    } else if(angle <= -Math.PI) {
      angle = angle + Math.PI * 2
    }

    sum += angle
  }

  // 计算回转数并判断点和多边形的几何关系
  return Math.round(sum / Math.PI) === 0 ? 'out' : 'in'}

也有人问到像下面这种复杂多边形有没有办法？答案是肯定的。至于为什么，就留给大家思考吧。

本文示例：https://xoyozo.net/Demo/IsThePointInsideThePolygon