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前言:本文源于前几天看到的一条微博:

微博

对于这种言论我并不赞同。我大学学的是化学,没有学习过计算机专业的课程,但我认为至少这个问题并不需要多么高端的计算机专业知识,只要中学数学没有全还给老师,就应该能给出至少一种解法。比如说,我就随便涂了一个多边形和一个点,现在我要找出一种通用的方法来判断这个点是不是在多边形内部(别告诉我用肉眼观察……)。

问题

首先想到的一个解法是从这个点做一条射线,计算它跟多边形边界的交点个数,如果交点个数为奇数,那么点在多边形内部,否则点在多边形外。

思路

这个结论很简单,那它是怎么来的?其实,对于平面内任意闭合曲线,我们都可以直观地认为,曲线把平面分割成了内、外两部分,其中“内”就是我们所谓的多边形区域。

多边形

基于这一认识,对于平面内任意一条直线,我们可以得出下面这些结论:

  1. 直线穿越多边形边界时,有且只有两种情况:进入多边形或穿出多边形。

  2. 在不考虑非欧空间的情况下,直线不可能从内部再次进入多边形,或从外部再次穿出多边形,即连续两次穿越边界的情况必然成对。

  3. 直线可以无限延伸,而闭合曲线包围的区域是有限的,因此最后一次穿越多边形边界,一定是穿出多边形,到达外部。

穿越

现在回到我们最初的题目。假如我们从一个给定的点做射线,还可以得出下面两条结论:

  1. 如果点在多边形内部,射线第一次穿越边界一定是穿出多边形。

  2. 如果点在多边形外部,射线第一次穿越边界一定是进入多边形。

首次穿越

把上面这些结论综合起来,我们可以归纳出:

  1. 当射线穿越多边形边界的次数为偶数时,所有第偶数次(包括最后一次)穿越都是穿出,因此所有第奇数次(包括第一次)穿越为穿入,由此可推断点在多边形外部。

    外部

  2. 当射线穿越多边形边界的次数为奇数时,所有第奇数次(包括第一次和最后一次)穿越都是穿出,由此可推断点在多边形内部。

    内部

到这里,我们已经了解这个解法的思路了,下面接着看算法实现的一些具体问题和边界条件的处理。

  1. 点在多边形的边上

    上面我们讲到,这个解法的主要思路就是计算射线穿越多边形边界的次数,那么对于点在多边形的边上这种特殊情况,射线出发的这一次,是否应该算作穿越呢?

    边

    看了上面的图就会发现,不管算不算穿越,都会陷入两难的境地——同样落在多边形边上的点,可能会得到相反的结果。这显然是不正确的,因此对这种特殊情况需要特殊处理。

  2. 点和多边形的顶点重合

    这其实是第一种情况的一个特例。

    顶点

  3. 射线经过多边形顶点

    射线刚好经过多边形顶点的时候,应该算一次还是两次穿越?这种情况比前两种复杂,也是实现中的难点。

    边

  4. 射线刚好经过多边形的一条边

    这是上一种情况的特例,也就是说,射线连续经过了多边形的两个相邻顶点。

    经过边

解决方案:

  1. 判断点是否在线上的方法有很多,比较简单直接的就是计算点与两个多边形顶点的连线斜率是否相等,中学数学都学过。

  2. 点和多边形顶点重合的情况更简单,直接比较点的坐标就行了。

  3. 顶点穿越看似棘手,其实我们换一个角度,思路会大不相同。先来回答一个问题,射线穿越一条线段需要什么前提条件?没错,就是线段两个端点分别在射线两侧。只要想通这一点,顶点穿越就迎刃而解了。这样一来,我们只需要规定被射线穿越的点都算作其中一侧。

    两侧

    如上图,假如我们规定射线经过的点都属于射线以上的一侧,显然点 D 和发生顶点穿越的点 C 都位于射线 Y 的同一侧,所以射线 Y 其实并没有穿越 CD 这条边。而点 C 和点 B 则分别位于射线 Y 的两侧,所以射线 Y 和 BC 发生了穿越,由此我们可以断定点 Y 在多边形内。同理,射线 X 分别与 AD 和 CD 都发生了穿越,因此点 X 在多边形外,而射线 Z 没有和多边形发生穿越,点 Z 位于多边形外。

  4. 解决了第三点,这一点就毫无难度了。根据上面的假设,射线连续经过的两个顶点显然都位于射线以上的一侧,因此这种情况看作没有发生穿越就可以了。由于第三点的解决方案实际上已经覆盖到这种特例,因此不需要再做特别的处理。

这种简单直观的算法通常叫做射线法奇偶法,下面给出 JavaScript 的算法实现。

/**
 * @description 射线法判断点是否在多边形内部
 * @param {Object} p 待判断的点,格式:{ x: X 坐标, y: Y 坐标 }
 * @param {Array} poly 多边形顶点,数组成员的格式同 p
 * @return {String} 点 p 和多边形 poly 的几何关系
 */function rayCasting(p, poly) {
  var px = p.x,
      py = p.y,
      flag = false

  for(var i = 0, l = poly.length, j = l - 1; i < l; j = i, i++) {
    var sx = poly[i].x,
        sy = poly[i].y,
        tx = poly[j].x,
        ty = poly[j].y

    // 点与多边形顶点重合
    if((sx === px && sy === py) || (tx === px && ty === py)) {
      return 'on'
    }

    // 判断线段两端点是否在射线两侧
    if((sy < py && ty >= py) || (sy >= py && ty < py)) {
      // 线段上与射线 Y 坐标相同的点的 X 坐标
      var x = sx + (py - sy) * (tx - sx) / (ty - sy)

      // 点在多边形的边上
      if(x === px) {
        return 'on'
      }

      // 射线穿过多边形的边界
      if(x > px) {
        flag = !flag
      }
    }
  }

  // 射线穿过多边形边界的次数为奇数时点在多边形内
  return flag ? 'in' : 'out'}

除了射线法还有很多其他的方法,下面再介绍一种回转数法

平面中的闭合曲线关于一个点的回转数(又叫卷绕数),代表了曲线绕过该点的总次数。下面这张图动态演示了回转数的概念:图中红色曲线关于点(人所在位置)的回转数为 2。

回转数

回转数是拓扑学中的一个基本概念,具有很重要的性质和用途。本文并不打算在这一点上展开论述,这需要具备相当的数学知识,否则会非常乏味和难以理解。我们暂时只需要记住回转数的一个特性就行了:当回转数为 0 时,点在闭合曲线外部(回转数大于 0 时所代表的含义,大家可以自己想一想,还是很有趣的)。

对于给定的点和多边形,回转数应该怎么计算呢?

  1. 用线段分别连接点和多边形的全部顶点。

    顶点连线

  2. 计算所有点与相邻顶点连线的夹角。

    内部

  3. 计算所有夹角和。注意每个夹角都是有方向的,所以有可能是负值。

    外部

  4. 最后根据角度累加值计算回转数。看过前面的介绍,很容易理解 360°(2π)相当于一次回转。

思路介绍完了,下面两点是实现中需要留意的问题。

  1. JavaScript 的数只有 64 位双精度浮点这一种。对于三角函数产生的无理数,浮点数计算不可避免会造成一些误差,因此在最后计算回转数时需要做取整操作。

  2. 通常情况下,平面直角坐标系内一个角的取值范围是 -π 到 π 这个区间,这也是 JavaScript 三角函数 Math.atan2() 返回值的范围。但 JavaScript 并不能直接计算任意两条线的夹角,我们只能先计算两条线与 X 正轴夹角,再取两者差值。这个差值的结果就有可能超出 -π 到 π 这个区间,因此我们还需要处理差值超出取值区间的情况。

这里也给出回转数法的 JavaScript 实现。

/**
 * @description 回转数法判断点是否在多边形内部
 * @param {Object} p 待判断的点,格式:{ x: X 坐标, y: Y 坐标 }
 * @param {Array} poly 多边形顶点,数组成员的格式同 p
 * @return {String} 点 p 和多边形 poly 的几何关系
 */function windingNumber(p, poly) {
  var px = p.x,
      py = p.y,
      sum = 0

  for(var i = 0, l = poly.length, j = l - 1; i < l; j = i, i++) {
    var sx = poly[i].x,
        sy = poly[i].y,
        tx = poly[j].x,
        ty = poly[j].y

    // 点与多边形顶点重合或在多边形的边上
    if((sx - px) * (px - tx) >= 0 && (sy - py) * (py - ty) >= 0 && (px - sx) * (ty - sy) === (py - sy) * (tx - sx)) {
      return 'on'
    }

    // 点与相邻顶点连线的夹角
    var angle = Math.atan2(sy - py, sx - px) - Math.atan2(ty - py, tx - px)

    // 确保夹角不超出取值范围(-π 到 π)
    if(angle >= Math.PI) {
      angle = angle - Math.PI * 2
    } else if(angle <= -Math.PI) {
      angle = angle + Math.PI * 2
    }

    sum += angle
  }

  // 计算回转数并判断点和多边形的几何关系
  return Math.round(sum / Math.PI) === 0 ? 'out' : 'in'}

也有人问到像下面这种复杂多边形有没有办法?答案是肯定的。至于为什么,就留给大家思考吧。

Complex Polygon

本文示例:https://xoyozo.net/Demo/IsThePointInsideThePolygon

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James Jones
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