判断平面内的点是否在多边形内（射线法/回转数法）
本文发布于 3 年前，部分内容可能已经失去参考价值。
前言：本文源于前几天看到的一条微博：
对于这种言论我并不赞同。我大学学的是化学，没有学习过计算机专业的课程，但我认为至少这个问题并不需要多么高端的计算机专业知识，只要中学数学没有全还给老师，就应该能给出至少一种解法。比如说，我就随便涂了一个多边形和一个点，现在我要找出一种通用的方法来判断这个点是不是在多边形内部（别告诉我用肉眼观察……）。
首先想到的一个解法是从这个点做一条射线，计算它跟多边形边界的交点个数，如果交点个数为奇数，那么点在多边形内部，否则点在多边形外。
这个结论很简单，那它是怎么来的？其实，对于平面内任意闭合曲线，我们都可以直观地认为，曲线把平面分割成了内、外两部分，其中“内”就是我们所谓的多边形区域。
基于这一认识，对于平面内任意一条直线，我们可以得出下面这些结论：
直线穿越多边形边界时，有且只有两种情况：进入多边形或穿出多边形。
在不考虑非欧空间的情况下，直线不可能从内部再次进入多边形，或从外部再次穿出多边形，即连续两次穿越边界的情况必然成对。
直线可以无限延伸，而闭合曲线包围的区域是有限的，因此最后一次穿越多边形边界，一定是穿出多边形，到达外部。
现在回到我们最初的题目。假如我们从一个给定的点做射线，还可以得出下面两条结论：
如果点在多边形内部，射线第一次穿越边界一定是穿出多边形。
如果点在多边形外部，射线第一次穿越边界一定是进入多边形。
把上面这些结论综合起来，我们可以归纳出：
当射线穿越多边形边界的次数为偶数时，所有第偶数次（包括最后一次）穿越都是穿出，因此所有第奇数次（包括第一次）穿越为穿入，由此可推断点在多边形外部。
当射线穿越多边形边界的次数为奇数时，所有第奇数次（包括第一次和最后一次）穿越都是穿出，由此可推断点在多边形内部。
到这里，我们已经了解这个解法的思路了，下面接着看算法实现的一些具体问题和边界条件的处理。
点在多边形的边上
上面我们讲到，这个解法的主要思路就是计算射线穿越多边形边界的次数，那么对于点在多边形的边上这种特殊情况，射线出发的这一次，是否应该算作穿越呢？
看了上面的图就会发现，不管算不算穿越，都会陷入两难的境地——同样落在多边形边上的点，可能会得到相反的结果。这显然是不正确的，因此对这种特殊情况需要特殊处理。
点和多边形的顶点重合
这其实是第一种情况的一个特例。
射线经过多边形顶点
射线刚好经过多边形顶点的时候，应该算一次还是两次穿越？这种情况比前两种复杂，也是实现中的难点。
射线刚好经过多边形的一条边
这是上一种情况的特例，也就是说，射线连续经过了多边形的两个相邻顶点。
解决方案：
判断点是否在线上的方法有很多，比较简单直接的就是计算点与两个多边形顶点的连线斜率是否相等，中学数学都学过。
点和多边形顶点重合的情况更简单，直接比较点的坐标就行了。
顶点穿越看似棘手，其实我们换一个角度，思路会大不相同。先来回答一个问题，射线穿越一条线段需要什么前提条件？没错，就是线段两个端点分别在射线两侧。只要想通这一点，顶点穿越就迎刃而解了。这样一来，我们只需要规定被射线穿越的点都算作其中一侧。
如上图，假如我们规定射线经过的点都属于射线以上的一侧，显然点 D 和发生顶点穿越的点 C 都位于射线 Y 的同一侧，所以射线 Y 其实并没有穿越 CD 这条边。而点 C 和点 B 则分别位于射线 Y 的两侧，所以射线 Y 和 BC 发生了穿越，由此我们可以断定点 Y 在多边形内。同理，射线 X 分别与 AD 和 CD 都发生了穿越，因此点 X 在多边形外，而射线 Z 没有和多边形发生穿越，点 Z 位于多边形外。
解决了第三点，这一点就毫无难度了。根据上面的假设，射线连续经过的两个顶点显然都位于射线以上的一侧，因此这种情况看作没有发生穿越就可以了。由于第三点的解决方案实际上已经覆盖到这种特例，因此不需要再做特别的处理。
这种简单直观的算法通常叫做射线法或奇偶法，下面给出 JavaScript 的算法实现。
/**
* @description 射线法判断点是否在多边形内部
* @param {Object} p 待判断的点，格式：{ x: X 坐标, y: Y 坐标 }
* @param {Array} poly 多边形顶点，数组成员的格式同 p
* @return {String} 点 p 和多边形 poly 的几何关系
*/function rayCasting(p, poly) {
var px = p.x,
py = p.y,
flag = false
for(var i = 0, l = poly.length, j = l - 1; i < l; j = i, i++) {
var sx = poly[i].x,
sy = poly[i].y,
tx = poly[j].x,
ty = poly[j].y
// 点与多边形顶点重合
if((sx === px && sy === py) || (tx === px && ty === py)) {
return 'on'
}
// 判断线段两端点是否在射线两侧
if((sy < py && ty >= py) || (sy >= py && ty < py)) {
// 线段上与射线 Y 坐标相同的点的 X 坐标
var x = sx + (py - sy) * (tx - sx) / (ty - sy)
// 点在多边形的边上
if(x === px) {
return 'on'
}
// 射线穿过多边形的边界
if(x > px) {
flag = !flag
}
}
}
// 射线穿过多边形边界的次数为奇数时点在多边形内
return flag ? 'in' : 'out'}除了射线法还有很多其他的方法，下面再介绍一种回转数法。
平面中的闭合曲线关于一个点的回转数（又叫卷绕数），代表了曲线绕过该点的总次数。下面这张图动态演示了回转数的概念：图中红色曲线关于点（人所在位置）的回转数为 2。
回转数是拓扑学中的一个基本概念，具有很重要的性质和用途。本文并不打算在这一点上展开论述，这需要具备相当的数学知识，否则会非常乏味和难以理解。我们暂时只需要记住回转数的一个特性就行了：当回转数为 0 时，点在闭合曲线外部（回转数大于 0 时所代表的含义，大家可以自己想一想，还是很有趣的）。
对于给定的点和多边形，回转数应该怎么计算呢？
用线段分别连接点和多边形的全部顶点。
计算所有点与相邻顶点连线的夹角。
计算所有夹角和。注意每个夹角都是有方向的，所以有可能是负值。
最后根据角度累加值计算回转数。看过前面的介绍，很容易理解 360°（2π）相当于一次回转。
思路介绍完了，下面两点是实现中需要留意的问题。
JavaScript 的数只有 64 位双精度浮点这一种。对于三角函数产生的无理数，浮点数计算不可避免会造成一些误差，因此在最后计算回转数时需要做取整操作。
通常情况下，平面直角坐标系内一个角的取值范围是 -π 到 π 这个区间，这也是 JavaScript 三角函数
Math.atan2()返回值的范围。但 JavaScript 并不能直接计算任意两条线的夹角，我们只能先计算两条线与 X 正轴夹角，再取两者差值。这个差值的结果就有可能超出 -π 到 π 这个区间，因此我们还需要处理差值超出取值区间的情况。
这里也给出回转数法的 JavaScript 实现。
/**
* @description 回转数法判断点是否在多边形内部
* @param {Object} p 待判断的点，格式：{ x: X 坐标, y: Y 坐标 }
* @param {Array} poly 多边形顶点，数组成员的格式同 p
* @return {String} 点 p 和多边形 poly 的几何关系
*/function windingNumber(p, poly) {
var px = p.x,
py = p.y,
sum = 0
for(var i = 0, l = poly.length, j = l - 1; i < l; j = i, i++) {
var sx = poly[i].x,
sy = poly[i].y,
tx = poly[j].x,
ty = poly[j].y
// 点与多边形顶点重合或在多边形的边上
if((sx - px) * (px - tx) >= 0 && (sy - py) * (py - ty) >= 0 && (px - sx) * (ty - sy) === (py - sy) * (tx - sx)) {
return 'on'
}
// 点与相邻顶点连线的夹角
var angle = Math.atan2(sy - py, sx - px) - Math.atan2(ty - py, tx - px)
// 确保夹角不超出取值范围（-π 到 π）
if(angle >= Math.PI) {
angle = angle - Math.PI * 2
} else if(angle <= -Math.PI) {
angle = angle + Math.PI * 2
}
sum += angle
}
// 计算回转数并判断点和多边形的几何关系
return Math.round(sum / Math.PI) === 0 ? 'out' : 'in'}也有人问到像下面这种复杂多边形有没有办法？答案是肯定的。至于为什么，就留给大家思考吧。
本文示例：https://xoyozo.net/Demo/IsThePointInsideThePolygon
